Cultura y sociedad

Hagamos magia con los números

¿Se ha preguntado alguna vez qué es contar? Seguramente no, pero sabe cómo hacerlo. Si llega a la puerta de un chiringuito de las playas de Málaga, y un camarero le pregunta “¿mesa para cuántos?”, usted se girará y, señalando a cada uno de sus amigos, resonará en su cabeza: uno, dos, tres, cuatro… Nuevamente, se girará y gritará “¡seis!”.

26.11.2017 4 minutos

Entre una moderada muchedumbre que observa perpleja los trucos de un señor con traje y varita, se escucha, con tono de asombro, “imposible”. El de la chistera, tras cerrar fuertemente su puño izquierdo e introducir un pañuelo rojo, había comenzado a sacar pañuelos de colores amarillo, azul y verde uno tras otro. En pocas palabras, había multiplicado el número de pañuelos; de, aparentemente, uno, había obtenido siete y de distintos colores. “¿Cómo lo ha hecho?”, le pregunta extrañado un chico de ocho años a su madre. Ella, adulta, le responde que el mago tendría los otros pañuelos escondidos en la manga de su chaqueta y le dice que los trucos de magia, que presentan hechos sorprendentes e inesperados, siempre esconden una explicación acorde a las leyes naturales.

¿Se ha preguntado alguna vez qué es contar? Seguramente no, pero sabe cómo hacerlo. Si llega a la puerta de un chiringuito de las playas de Málaga, aquellas que tanto añoramos los malagueños que fuera de nuestra tierra nos encontramos, y un camarero le pregunta “¿mesa para cuántos?”, usted se girará y, señalando a cada uno de sus amigos, resonará en su cabeza: uno, dos, tres, cuatro… Nuevamente, se girará y gritará “¡seis!”. Sin embargo, al llegar a la mesa, puede enfrentarse a cierto infortunio; por ejemplo, había contado dos veces a su amigo Hugo o se había olvidado de contar a Antonio. Si analiza la anterior situación, contar los objetos de una colección es asignarles un número natural (los números naturales son 1,2,3…), comenzando por uno y respetando dos reglas que, observando la figura inferior, son:

  • Regla (1): Dos flechas no pueden llegar a un mismo objeto (de lo contrario, lo contaríamos dos veces).

  • Regla (2): A todo objeto debe llegar alguna flecha (de lo contrario, no lo contaríamos).

Figura 1: esquema.

En matemáticas, aquellas colecciones (conjuntos) que se pueden representar en un esquema como el superior que verifique las reglas (1) y (2), se denominan numerables o contables. Para el esquema, es posible utilizar n números naturales (entonces, la colección se compone de n objetos) o, quizás, si la colección es infinita, todos ellos: 1, 2, 3… Por ejemplo, en una fila infinita de personas, somos capaces de establecer la posición (1º, 2º, 3º…) de cada una de ellas, a pesar de que la fila no tiene fin.

Es el momento de la magia. Debe ser claro que, si podemos representar dos colecciones en un esquema como el anterior (una de ellas ocupa el lugar de los números), ambas tienen el mismo número de objetos. Naturalmente, ya que formamos parejas de objetos, uno de cada colección. Pues bien, tomemos ahora el conjunto N de todos los números naturales y llamemos 2N al conjunto de los números naturales pares:

N = {1, 2, 3, 4, …} 2N = {2, 4, 6, 8, …}

¿Dónde hay más números? Aparentemente en N, ya que contiene a los pares y también a los impares; esto es, 2N forma parte de N. Pues no. Tienen los mismos. Solamente hay que asignar a cada número natural su doble (n -> 2n) y habremos construido el esquema (satisfaciendo éste las reglas (1) y (2)).

Figura 2: Esquema N -> 2N.

¿Cuál es el truco de magia? De todos los números naturales, hemos hecho desaparecer a los impares y ¿cuántos quedan? ¡Exactamente los mismo! “¡Qué pasada!”, se escucha entre el público.

Sin embargo, como hemos mencionado al comienzo, nuestro mago hizo aparecer pañuelos; de uno, consiguió siete. ¿Podremos nosotros hacer aparecer todos los números naturales a partir de los pares? Por supuesto que sí. Solo hemos de mirar la figura 2 en sentido contrario y, de los números pares, que parecen menos, obtenemos todos los naturales, dividiendo entre dos (n -> n/2). En conclusión, hay tantos números pares como números naturales. Este resultado, insistimos, choca con la intuición, pero la asignación entre los pares y los naturales es unívoca.

Es más, se puede generalizar la idea anterior y demostrar que hay tantos números entre 0 y 1 (este conjunto se conoce como intervalo cero-uno, [0,1]) como entre 0 y 2 (intervalo cero-dos, [0,2]); lo que, a primera vista, parece de locos, ya que en el intervalo [0,2] están los números que son mayores o iguales que 0 y menores o iguales que 1, es decir, el intervalo [0,1], pero también aquellos que son mayores o iguales que 1 y menores o iguales que 2; que, además, son un montón; está el 1.5, el 1.36, el 1.78… Ahora bien, si construimos un esquema, es decir, si asignamos a cada número del [0,1] un número del [0,2], sin repetir (regla (1)) y barriéndolos todos (regla (2)), me diría que sí hay los mismos, ¿no?

Figura 3: Esquema [0,1] -> [0,2].

¡Hecho! Mire bien. A cada número del [0,1] le hacemos corresponder su doble (x -> 2x). Y la asignación es perfecta. Fíjese en las líneas morada y roja. Siguiendo la morada, dado un número del [0,1], encontramos su pareja del [0,2] (distintas, regla (1)). Igual ocurre con la línea roja, que muestra que dado cualquier número del [0,2], tenemos un número (su mitad) del [0,1] que se corresponde con él (regla (2)).

¿Seremos capaces de hacer aparecer al intervalo [0,15436] a partir del intervalo [0,1]? Es decir, ¿habrá el mismo número de números en el intervalo [0,1] y en el intervalo [0,15436], donde parece haber muchísimos, pero muchísimos, más? Pues también.

¿Se da cuenta de la cantidad de misterios que ocultan los números?

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